Логические задачи обычно формулируются на естественном языке.
В первую очередь их необходимо формализовать, то есть записать на языке алгебры высказываний. Полученные логические выражения необходимо упростить и проанализировать. Для этого иногда бывает необходимо построить таблицу истинности полученного логического выражения.
Условие задачи.
В школе-новостройке в каждой из двух аудиторий может находиться либо кабинет информатики, либо кабинет физики. На дверях аудиторий повесили шутливые таблички. На первой повесили табличку «По крайней мере, в одной из этих аудиторий размещается кабинет информатики», а на второй аудитории — табличку с надписью «Кабинет физики находится в другой аудитории».
Проверяющему, который пришел в школу, известно только, что надписи на табличках либо обе истинны, либо обе ложны. Помогите проверяющему найти кабинет информатики.
Решение задачи.
Переведем условие задачи на язык логики высказываний. Так как в каждой из аудиторий может находиться кабинет информатики, то пусть:
А= «В первой аудитории находится кабинет информатики»;
В = «Во второй аудитории находится кабинет информатики».Отрицания этих высказываний:
¬А= «В первой аудитории находится кабинет физики»;
В = «Во второй аудитории находится кабинет физики».Высказывание, содержащееся на табличке на двери первой аудитории, соответствует логическому выражению:
X = АvВ.
Высказывание, содержащееся на табличке на двери второй аудитории, соответствует логическому выражению:
Y = ¬А.
Содержащееся в условии задачи утверждение о том, что надписи на табличках либо одновременно истинные, либо одновременно ложные в соответствии с законом исключенного третьего записывается следующим образом:
(Х&Y)v(¬Х& ¬Y) = 1.
Подставим вместо X и Y соответствующие формулы:
(X & Y) v (¬X & ¬Y) = ((А v В) & ¬А) v (¬(АvВ) & ¬¬А).
Упростим сначала первое слагаемое. В соответствии с законом дистрибутивности умножения относительно сложения:
(А v В)&А= А & ¬Аv В & ¬А.
В соответствии с законом непротиворечия:
А&¬А v В & А = 0 v В&¬А.
Упростим теперь второе слагаемое. В соответствии с первым законом де Моргана и законом двойного отрицания:
¬(А v В) & ¬¬А = ¬А & ¬В & А =¬А & А & ¬В
В соответствии с законом непротиворечия:
¬А & А & ¬В = 0 & ¬В = 0.В результате получаем:
(0 v В & ¬А) v 0 = В & ¬А.
Полученное логическое выражение оказалось простым и поэтому его можно проанализировать без построения таблицы истинности. Для того чтобы выполнялось равенство В & ¬А = 1, В и ¬А должны быть равны 1, то есть соответствующие им высказывания истинны.
Ответ: В первой аудитории находится кабинет физики, а во второй — кабинет информатики.
